无穷级数
无穷个有规律的项的和。
把一个有规律的无穷数列：
1
,
1
,
1
,
1
……
2
4
8
16
（在这例子里每项是上一项的一半）
所有的项加起来：
1
+
1
+
1
+
1
+ …… = S
2
4
8
16
便成为一个无穷级数。
"级数" 并不是数列，而是数列的和。
（注意：这些点 "……" 代表 "无限延续"）
第一个例子
乍看你或会觉得不可能计算出答案，但有时是可以的！
看以上的例子：
1
+
1
+
1
+
1
+ ... = 1
2
4
8
16
这是为什么：
（下面也有一个代数的证明）
记法
我们通常用总合符号来写无穷级数。以上的例子是这样写的：
这符号（叫总和符号，英语：Sigma）的意思是 "加起来"
试试把 1/2^n 输入到总和（Sigma）计算器.
另一个例子
1
+
1
+
1
+
1
+ ... =
1
4
16
64
256
3
每项是上一项的四分之一，总和是 1/3：
3个空间（1、2和3）里只有 2 被填满，故此和是 1/3。
收敛
有时当我们把每项逐个加上，"和" 便趋向一个有限值。这种无穷级数被称为 "收敛的"：
第一个例子：
1
+
1
+
1
+
1
+ ……
2
4
8
16
加起来像这样：
项
目前的和
1/2
0.5
1/4
0.75
1/8
0.875
1/16
0.9375
1/32
0.96875
……
……
和趋近 1，所以这个无穷级数是收敛的。
在微积分中，我们说部分和"的数列有一个有限的极限值。"
发散
若和列并不收敛，级数便叫做发散。
例子：
1 + 2 + 3 + 4 + ……
加起来是这样：
项
目前的和
1
1
2
3
3
6
4
10
5
15
……
……
和越来越大，并不趋近一个有限的值。
级数并不收敛，所以它是发散的。
例子：1 − 1 + 1 − 1 + 1 ……
级数不断上下增减，并不趋近一个值，所以它发散。
更多例子
算术级数
若级数里每项与下一项的差是固定的，级数便叫做算术级数。（故此又称：等差级数）
（每项之间的差额是 2。）
几何级数
若级数里每项与下一项的比是固定的，级数便叫做几何级数.（故此又称：等比级数）
上面第一个例子是个几何级数：
（每项之间的差额是 ½）
我们可以用代数来证明级数等于 1：
首先，我们以"S" 代表数列的和：
S = 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ……
接着，把S 乘以 ½:
S/2 = 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + ……
现在把它们相减！
1/4 以后的项都互相抵消了。
结果是：
S - S/2 = 1/2
简化：
S/2 = 1/2
故此：
S = 1
调和级数
这是调和级数：
这个级数发散。为什么？把它和另一级数比较：
1
+
1
+
1
+
1
+
1
+
1
+
1
+
1
+
1
+ ……
2
3
4
5
6
7
8
9
等等……
1
+
1
+
1
+
1
+
1
+
1
+
1
+
1
+
1
+ ……
2
4
4
8
8
8
8
16
上面的数全都是等于或大于下面的数。
把下面每一组加起来：
1
+
1
+
1
+
1
+
1
+
1
+
1
+
1
+
1
...
+ ……
2
4
4
8
8
8
8
16
1
+
1
+
1
+
1
+
1
+ …… = ∞
2
2
2
2
故此，原来的级数也一定是无穷大。
交错级数
一个交错级数的例子（基于上面的调和级数）是：
它持续上下增减，但收敛到 2 的 自然对数
高级说明:
要了解为什么，我们先来看看一个面积为 1 的正方形，然后把它和正与负的分数配合，从而显示面积被减小到 y=1/x 的曲线下，在 1 和 2 之间的面积：
用（相信我）积分学，我们可以证明在 y=1/x 曲线下面的这个面积是 ln(2)：
2
∫
1
1/x dx = ln(2) − ln(1) = ln(2)
（你可以试试去看那些长方形是否真的会组成那个区域！）
更多
还有更多的无穷级数。算出它们是收敛还是发散及收敛到哪个值，往往是个有趣的（也是有挑战性的）练习。
总和符号总和（Sigma）计算器代数索引